Per il bene dei lettori futuri, vorrei sintetizzare una risposta completa alla domanda in modo che non sia solo sepolta in un collegamento all'interno di un commento.

1.

Come suggerisce la risposta di Robert Fink, la risposta TL; DR alla domanda è sì, l'esacordo finale di qualsiasi fila di toni sarà uguale al primo esacordo o sarà il suo z-partner.

2.

Una risposta leggermente più lunga suggerita da un amico non SE è la seguente: Il complemento di qualsiasi set-class di qualsiasi dimensione (cioè, la classe set delle note rimanenti tra tutte le 12 possibilità nel sistema occidentale tradizionale una volta rimosse le note del set originale) sarà sempre la stessa indipendentemente dalle note specifiche. Ad esempio, le note D, D #, F #, G # - un membro del tetracordo di tutti gli intervalli (0146) - ha il complemento C, C #, E, F, G, A, A #, B, un membro di (01234689) . Un membro completamente diverso di (0146) sarebbe G, A, C, C #; ma il suo complemento - Re, Re #, Mi, Fa, Fa #, Sol #, La #, Si - è ancora membro di (01234689).

Ovviamente, questo sarà ancora vero per gli esacordi. Una volta ottenuto il primo esacordo di una serie tradizionale a 12 toni, il rimanente esacordo è, per definizione, il complemento del primo. Tutto ciò che resta da provare l'ipotesi originale è il fatto che il complemento di ogni esacordo è se stesso o il suo z-partner, come si può verificare guardando qualsiasi elenco di esacordi come quello nell'Appendice della Introduzione a Straus Teoria post-tonale .

3.

Una dimostrazione un po 'più formale di Steven K. Blau è stata fornita in un collegamento di Micah, il documento completo è qui: http://www.maa.org/sites/default/files/269122711809.pdf

Fornirò un breve riassunto. Se scegliamo un esacordo arbitrario, chiamiamolo A, quindi implica un esacordo complementare (B) che segna il suo completamento in una riga di toni. Possiamo immaginare questi due esacordi in un diagramma del quadrante in questo modo:

_B ^A _{A
B B
A A
B A
B B}
^A

Ora immaginiamo di cambiarne uno delle note A con una delle note B, farò un cambio delle posizioni ore 2 e ore 3.

_B ^A _{A
B A
A} ^{⤹ sup> _B ⤣
_{B A
B B}
A}

Le uniche modifiche intervalliche in A saranno abbinate a modifiche intervalliche identiche in B. Ad esempio, la nota LA quello che prima era a ore 3 era a 3 semitoni di distanza dalla nota LA a ore 12, ma ora è solo a 2. Questo cambia il contenuto dell'intervallo costitutivo dell'esacordo LA ma abbiamo cambiato simultaneamente l'esacordo B in quanto la nota B che era alle 2 era anche 3 semitoni di distanza dalla nota B alle 5 e ora è solo 2 lontano. In altre parole, nello stesso momento in cui abbiamo cambiato uno degli intervalli in A da IC3 a IC2, abbiamo anche cambiato uno degli intervalli in B esattamente nello stesso modo. L'articolo a quel link copre tutte le possibilità (anche se penso che l'autore inverta accidentalmente n +1 e n a un certo punto)

Pertanto, l'intervallo il contenuto dei due esacordi sarà sempre lo stesso, qualunque cosa accada, il che è solo un altro modo per dire che gli esacordi discreti di qualsiasi riga saranno della stessa classe dell'insieme o relativi a z. QED

Sì, è vero. Ci riferiamo ad esso, nel business, come The Hexachordal Combinatoriality Theorem. Può essere dimostrato matematicamente, ma non posso (senza rivivere alcune esperienze traumatiche della scuola di specializzazione) farlo per te qui. :)