Domanda:
Perché B♯ è maggiore di C ♭ in 31-ET?
Siyual
2019-04-30 20:15:01 UTC
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Stavo esaminando le serie microtonali e ho iniziato a leggere un po 'sulla serie 31-ET, e mi sono imbattuto in qualcosa che non ha proprio senso per me.

Ho notato questo grafico sulla pagina wiki per 31-ET che elencava tutte le note nella scala cromatica:

31-ET Chromatic Notes

Sorgente

Secondo questo grafico, C ♭ è situato più in basso di B♯ e, analogamente, F ♭ è anche inferiore a E♯:

31-ET FE

Questo grafico è corretto? Se è così, qualcuno può spiegare perché è annotato in questo modo, invece che la progressione naturale è: ..., B, B♯, C ♭, C, ...?

Sentiti libero di modificare i tag secondo necessità: non ho visto un tag 31-ET e non mi sentivo a mio agio nel crearne uno nuovo.
La differenza è di 39 centesimi. Inoltre, A # è 39 centesimi sotto Bb e C # è 39 centesimi sotto Db. In effetti, ogni gradino della scala è 39 centesimi sopra il precedente.
Trovato questo sfogliando a caso, e per la prima volta avevo sentito parlare di 31-ET ... ma per capire meglio, mi sembra che la nota il cui nome principale è "C-flat" potrebbe anche essere chiamata "B semi-diesis ", e allo stesso modo" Si diesis "potrebbe essere chiamato" Do semimibilante "... simile a come su una scala a 12 note la stessa nota viene usata per Do diesis e Re bemolle, o per Do bemolle e Si ecc.
Per le risposte, assicurati che il grafico mostri E #> Fb (non visibile nel tuo post)
Non capisco 31-ET, ma poiché Cb e Fb sono enarmonici B ed E, e d'altra parte B # e E # corrispondono a C e F è logico di cucitura ed è ovvio per me che B # e E # sono più alti di Cb e Eb.
Tre risposte:
#1
+28
dan04
2019-05-01 08:51:30 UTC
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Questa domanda sembra sorgere da un modello mentale "lineare" delle note.

C ♭ CC♯ D ♭ DD♯ E ♭ EE♯ F ♭ FF♯ G ♭ SOLG♯ LA ♭ AA♯ B ♭ BB♯ C ♭ CC♯

Come una tastiera di pianoforte, ma in qualche modo con 31 note per ottava invece di 12. (Costruire o suonare uno strumento del genere è lasciato come esercizio per il lettore.)

Ma invece, guarda le note in ordine Circolo delle quinte.

F ♭ C ♭ G ♭ D ♭ A ♭ E ♭ B ♭ FCGDAEBF♯ C♯ G♯ D♯ A♯ E♯ B♯

Può essere utile riorganizzare le note alternate in questa serie in due file sfalsate, come questa:

 C ♭ D ♭ E ♭ FGABC♯ D♯ E♯ F ♭ G ♭ A ♭ B ♭ CDEF♯ G♯ A♯ B♯ 

Questo produce un layout di nota isomorfa (in particolare, due file di Wicki-Hayden), in cui:

  • Ogni mossa nella direzione ↗ aumenta il tono di una quinta perfetta (P5) .
  • Ogni mossa nella direzione ↘ diminuisce l'altezza di una quarta perfetta (P4).
  • Ogni mossa in la direzione → aumenta il tono di P5 - P4 = M2.

Nota che, se scegli un singolo rapporto di frequenza (chiamalo x ) per il P5, quindi ottieni il P4 (2 / x, l'inversione di ottava di P5, prendendo come assiomatico che un'ottava è il doppio della frequenza) e M2 (x 2 / 2) per libero, e da qualsiasi altezza di base (ad esempio, A4 = 440 Hz), puoi calcolare la frequenza fondamentale di qualsiasi nota. Se si fa una scelta ragionevole per x , si ottiene un temperamento sintonico.

(Il rilassamento del requisito che P5 sia un rapporto di altezza costante consente ad altri accordature, come 5 limiti solo intonazione, in cui gli intervalli M2 sono rapporti di 9/8 o 10/9, in modo che M3 possa essere un "bel" 5/4, a scapito di fare P5 a volte è 40/27 invece di 3/2. Ma questo complica eccessivamente la mia analisi qui, quindi fai un'altra domanda se desideri discutere ulteriormente l'idea.)

In particolare, i limiti su x sono:

  • Minimo: x = 2 4/7 ≈ 1.48599428914. Se fosse più basso, i diesis abbasserebbero le altezze e i bemolli li aumenterebbero.
  • Massimo: x = 2 3/5 ≈ 1.51571656651. Se fosse maggiore, B sarebbe maggiore di C ed E maggiore di F.

Alcune scelte possibili per x sono:

  • x = 3/2 = 1.5. Questa è accordatura pitagorica, con P5 (3/2), P4 (4/3) e M2 (9/8) puri.
  • x = 5 1 / 4 ≈ 1.49534878122. Questo è significato di un quarto di virgola, con M3 puro (5/4), ma P4 e P5 irrazionali.
  • x = 2 7/12 ≈ 1.49830707688. Questo è il familiare temperamento equabile a 12 toni.
  • x = 2 18/31 ≈ 1.49551788235. Questo il 31-ET in discussione. È molto vicino al significato di un quarto di virgola.

In 31-ET, un'ottava è divisa logaritmicamente in 31 unità uguali e un intervallo P5 è considerato 18 di queste unità. Partendo da una nota di "origine" arbitraria C, e facendo tutta l'aritmetica modulo 31, il cerchio delle quinte può essere etichettato come:

  • -144 = 11 = F ♭
  • -126 = 29 = C ♭
  • -108 = 16 = SOL ♭
  • -90 = 3 = RE ♭
  • -72 = 21 = LA ♭
  • -54 = 8 = Mi ♭
  • -36 = 26 = Si ♭
  • -18 = 13 = F
  • 0 = 0 = C
  • 18 = 18 = G
  • 36 = 5 = D
  • 54 = 23 = A
  • 72 = 10 = E
  • 90 = 28 = B
  • 108 = 15 = F♯
  • 126 = 2 = C♯
  • 144 = 20 = G ♯
  • 162 = 7 = D
  • 180 = 25 = LA♯
  • 198 = 12 = E♯
  • 216 = 30 = B♯

Oppure, ordinamento in base alla classe di passo modulo 31:

  • 0 = C
  • 2 = C♯
  • 3 = D ♭
  • 5 = D
  • 7 = D♯
  • 8 = E ♭
  • 10 = E
  • 11 = F ♭
  • 12 = E♯
  • 13 = F
  • 15 = F♯
  • 16 = Sol ♭
  • 18 = Sol
  • 20 = Sol♯
  • 21 = A ♭
  • 23 = A
  • 25 = A♯
  • 26 = B ♭
  • 28 = B
  • 29 = C ♭
  • 30 = B♯

Quindi sì, B♯ è maggiore di C ♭, proprio come E♯ è maggiore di F ♭. Ciò che è importante è la coerenza degli intervalli. Una quinta perfetta è sempre 18 unità e quindi:

  • Un tono intero (M2), come da C a D, è sempre 5 unità.
  • Un semitono diatonico (m2), come da E a F, è sempre 3 unità.
  • Un semitono cromatico (A1), rappresentato con un segno ♯ o ♭, è sempre 2 unità.

Scambiare B♯ / C ♭ o E♯ / F ♭ spezzerebbe questa coerenza. E avendo ♯ o ♭ sempre pari a 2 unità, puoi similmente costruire doppi diesis / bemolle di 4 unità, o mezzi diesis / bemolle di 1 unità, riempiendo così il resto del grafico con una nota nomi.

In effetti, 31-ET è ben lungi dall'essere l'unico sistema che ha B♯ maggiore di C ♭. Se alla nota C è assegnata una frequenza di 1, allora B♯ = x 12 / 2 7 e C ♭ = 2 4 / x 7 , e un po 'di algebra rivela che la situazione si verifica quando x> 2 11/19 ≈ 1.49375896165. La soglia è 19-ET, il che rende B♯ uguale a C ♭.

Più leggevo, più domande avevo, ma più continuavo a leggere, più risposte a queste domande. Penso che questo abbia risposto a tutte le mie domande e a tutte le domande che non sapevo di avere. Non sono il migliore quando si tratta di teoria musicale, ma la matematica usata qui ha fatto sì che tutto andasse a posto. Grazie mille!
#2
+16
phoog
2019-04-30 20:25:02 UTC
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È perché B e C sono più vicini tra loro della differenza tra B e B♯ e della differenza tra C e C ♭. Cioè, sono tutti una sorta di semitono a parte.

In alternativa, nota che B♯ è anche più alto di C ♭ in ogni temperamento a 12 toni, perché nel sistema a 12 toni B♯ è lo stesso altezza come C, mentre C ♭ è la stessa altezza di B.

ma questo non appare da nessun'altra parte nella serie cromatica

In realtà, F ♭ è anche più basso di E♯.

Al contrario, quando le note naturali sono un (una sorta di) intero passo a parte, come con C e D, la nota più acuta appiattita è più alta della nota acuta più bassa . Cioè, D ♭ è maggiore di C♯. Lo stesso vale per E ♭ e D♯, G ♭ e F♯, A ♭ e G♯, e B ♭ e A♯.

Per dirla in termini di temperamento a 31 toni, sono due coppie di nomi di lettere disadorne adiacenti che sono separate da 3/31 di ottava, quelle da B a C e da E a F. Le altre coppie (A a B, C a D, D a E, F a G, e Da G ad A) sono separati da 5/31 di ottava.

Alterare qualsiasi nota di lettera disadorna con un diesis o bemolle significa alzarla o abbassarla di 2/31 di ottava. Pertanto, con B in C e E in F, le altezze alterate "si incrociano" perché 2 è più della metà di 3. Con le altre coppie di note, le altezze alterate non si incrociano, perché 2 è meno della metà di 5.

Come osserva l'articolo di Wikipedia, il temperamento equabile a 31 toni è nato dai tentativi di derivare un temperamento equabile che consente (approssimativamente) solo le terze maggiori (con un rapporto di frequenza di 5: 4). Se si ricavano C ♭ e B♯ utilizzando solo intervalli, si arriva anche a C ♭ inferiore a B♯. Ad esempio, B♯ potrebbe essere tre terze maggiori sopra C, mentre C ♭ potrebbe essere tre terze minori sopra D:

 C = 1 D = 9/8 E = 5/4 F = 27/20 G ♯ = 25/16 LA ♭ = 81/50 B♯ = 125/64 DO ♭ = 243/125 B♯ = 1,953125 DO ♭ = 1,944 

Qui B♯ è 1158,94 centesimi, mentre C ♭ è 1150,83 centesimi.

Infine, nel temperamento equabile a 12 toni B♯ è anche più alto di C ♭, poiché B ♭ = C = 1200 centesimi, mentre Cb = B = 1100 cent.

Questo ha senso per quanto riguarda la teoria, ma perché non modificare la convenzione di denominazione per le note stesse in modo che non salti? La parte su cui non riesco a capire è che abbiamo una nota chiamata B # che è più alta in altezza di una nota chiamata Cb. La sequenza logica sarebbe l'opposto.
@Siyual presumibilmente perché il punto di 31-tet non è inventare un sistema musicale completamente nuovo, ma estendere quello esistente. 31-tet è nato dalla sola intonazione e dal temperamento significato di un quarto di virgola, come notato nell'articolo di wikipedia. Aggiungerò un altro paragrafo.
Ah, questo ha molto più senso - grazie!
@phoog Sarebbe anche (cosa più importante imo) stonare tutti gli accordi. È una convenzione storica, ma non arbitraria, serve a uno scopo funzionale.
(Sono sicuro che sei a conoscenza di quel phoog, ma non è necessariamente ovvio per qualcuno che non è abituato a questi temperamenti - non era per me quando ho iniziato a guardarlo per la prima volta un anno o due fa)
@siyual Penso che il take away più importante qui sia che questo non ha nulla a che fare con 31-ET. Anche in 12-ET (o solo intonazione, ecc.) Hai la stessa situazione perché c'è solo un singolo semitono tra B e C (e E e F). Non possiamo semplicemente cambiare la notazione perché abbiamo secoli di notazione e tradizione che usano questa notazione.
Da dove trai le tue conoscenze? Ho cercato di capire l'aritmetica alla base di queste cose per molto tempo, ma sembra che tu ti senta a tuo agio tra loro come un pesce nell'acqua. Se ci sono documenti accademici che potresti consigliare per avvicinarti al tuo livello, sarei onorato di leggerli.
@Pyromonk è solo matematica delle scuole superiori (da molti anni fa) oltre a costruire molti fogli di calcolo per calcolare le frequenze, il che ha rinfrescato la mia memoria sulle scale logaritmiche e così via. Ho anche cantato molta musica senza strumenti, il che consente di regolare le altezze mentre si procede, o con strumenti barocchi, che tendono a prestare maggiore attenzione alla regolazione degli intervalli verso la giusta intonazione (acusticamente pura). Ho scoperto che analizzare i rapporti di frequenza è utile per identificare le note che devono essere più alte o più basse rispetto all'ultima volta che le hai cantate.
#3
+7
Some_Guy
2019-04-30 21:59:09 UTC
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Questa non è proprio una risposta, ma è anche troppo lunga per un commento e penso che ti indirizzerà nella giusta direzione.

Le convenzioni per l'ortografia di 31TET sono legate al convenzioni dei temperamenti meanone, e in un certo senso 31TET può essere visto come un caso speciale di un temperamento meanone "completato". E se scegli un sottoinsieme di 31TET gli intervalli sono davvero, davvero vicini al quarto di virgola inteso

Sono stato aiutato da un risponditore senza nome alla mia domanda qui, davvero mi ha aperto gli occhi su come funziona 31TET.

Questa musica (scorrono le mie lacrime) qui viene suonata in 31 TET o una forma di temperamento ineguale rinascimentale come il significato di un quarto di virgola?

La domanda riguardava questa registrazione assolutamente meravigliosa di "flow my tears" che ha gli accordi "disuguali" più deliziosamente caldi


Con che plug and shoutout, proviamo a rispondere alla tua domanda:

Tutto ciò si applicherebbe anche ai temperamenti meschini, la maggior parte dei quali sono disuguali, in quanto è importante quale nota inizi quando derivare le altre note (da una catena di quinte temperate in entrambe le direzioni). 31TET è solo un caso speciale di questo: di solito con un temperamento meschino si ricavano tutte le note di cui hai bisogno e poi ti fermi (di solito 12, anche se a volte un paio in più, quindi puoi dire sia Ab che G # , o entrambi A # e Bb). ma in 31TET, se continui a scorrere le quinte, alla fine, torni al punto di partenza.

E anche se all'inizio potrebbe sembrare strano, la nomenclatura in uso è davvero l'unica logica; significa che quando suoni un accordo enunciato come un certo insieme di intervalli, quello è l'accordo che senti. Quindi l'ortografia di B # e Cb è correlata al fatto che B # dovrebbe essere una quinta di distanza da E #, una terza maggiore da G #, una terza minore sotto D #, il M7 di C #, ecc. E Cb dovrebbe essere una quinta di distanza da Fb, una terza minore di distanza da Ab ecc.

Al momento la mia testa non è del tutto concentrata su 31TET, ma se ci giochi e costruisci accordi e progressioni armoniche da esso, il risultato gli accordi escono come "dovrebbero" suonare in base alla loro ortografia. È intuitivo nei tasti più elementari, una volta che inizi a viaggiare sempre più in basso nel cerchio della tana del coniglio delle quinte diventa un po 'più strano ma finisce comunque per avere un senso, anche quando arrivi al punto di suonare in "C metà flat "o qualsiasi altra cosa.

È passato un po 'di tempo dall'ultima volta che sono stato bloccato in 31TET, quindi è per questo che non ho esaminato i dettagli esatti in modo più preciso; sì, ma penso che se lo guardi e inizi a costruire accordi , o catene di intervalli ecc., vedrai perché il sistema di ortografia esistente ha più senso.

Un buon inizio è il circolo delle quinte, se costruisci 31TET in quinte, l'ortografia funziona come questo.

Ma vedrai che non sono solo le quinte, se scegli un determinato intervallo (e quindi un accordo), le ortografie sono le più logiche. Il risultato è che la scala cromatica scritta in ordine sembra un po 'strana, ma penso che sia un piccolo sacrificio.

Se ho tempo, modifico nel cerchio 31 TET di quinte (usando mezzo bemolle / nomenclatura mezzo diesis non doppia bemolle doppia nomenclatura diesis che non mi piace) ma per ora posterò questo e spero che aiuti!

Questo è estremamente utile, grazie! Non stavo considerando molto il circolo delle quinte.
@Siyual davvero. Inoltre non ho pensato a questo nella mia risposta, poiché lo stavo guardando dal punto di vista dei giusti intervalli. Ma ovviamente lo scopo di un temperamento è riuscire a chiudere il cerchio delle quinte, quindi entrambi gli approcci produrranno lo stesso risultato. Noto anche che nel sistema a 31 toni B-semi-diesis è enarmonicamente equivalente a C-flat e che C-semi-flat è enarmonicamente equivalente a B-sharp.
felice di aiutare! Anche una curiosità di 31TET è che (poiché 31 è un numero primo) ogni intervallo torna a se stesso dopo esattamente 31 ripetizioni, non solo la quinta, quindi puoi costruire un cerchio completo di tutte le altezze usando qualsiasi intervallo arbitrario (sebbene il il quinto è ovviamente il più importante).
(in 12 puoi farlo solo con quinte (7), quarti (5) e semitoni (1), tutto il resto "si chiude presto" perché 2,3,4 e 6 sono fattori di 12) Al contrario, questo significa anche che 31TET non ha alcun "accordo simmetrico" costruito con pattern ripetuti (come l'accordo dim7 o aug in 12TET), così amato dagli improvvisatori per il fatto che ogni accordo fa più lavori. Quindi, con una maggiore "risoluzione del tono", sacrifichi anche la capacità di "confondere" facilmente le cose o di pivot. Immagino che "passi da gigante" non funzionerebbe davvero in 31, ad esempio.
@phoog Questa è la cosa divertente con la teoria musicale, spesso un'analisi completamente diversa ti porta allo stesso punto finale, e nessuna delle due è più "corretta" dell'altra! :) (anche se sì, sono d'accordo con te sul fatto che il potenziale per deliziosi accordi consonanti succosi in una struttura EDO è il più grande fascino di 31 - mi piacerebbe sentire un po 'di musica che esplori davvero il suo potenziale per avere piccoli intervalli melodici in una consonante e quadro armonico funzionale)


Questa domanda e risposta è stata tradotta automaticamente dalla lingua inglese. Il contenuto originale è disponibile su stackexchange, che ringraziamo per la licenza cc by-sa 4.0 con cui è distribuito.
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