Ciò richiede un'escursione nella storia della musica.

In origine, gli strumenti erano fatti per suonare semplicemente note che suonavano "bene" insieme. Il motivo per cui alcune note suonavano giuste e altre sbagliate non era di grande preoccupazione per la maggior parte della storia dell'umanità, fino a quando Pitagora (sì, il tizio con il teorema) notò che aveva ha a che fare con gli intervalli e ha creato una teoria musicale basata sulle quinte perfette. Questa teoria ha avuto i suoi problemi, tuttavia, ed è stata migliorata da persone successive, finendo alla fine con quella che viene chiamata " solo intonazione"

Fondamentalmente, le note suonano armoniose se la frequenza delle note è vicino a un intervallo semplice, come 3/2 o 5/4. Queste teorie erano importanti perché significava che era possibile per diversi costruttori di strumenti creare strumenti che potessero suonare scale insieme, creando così orchestre.

Ma solo l'accordatura ha un problema: fondamentalmente puoi suonare solo la scala per cui è costruito lo strumento, perché gli intervalli tra le note sono diversi. Se suoni una melodia sulla scala sbagliata, risulterà stonata. Ciò significa che se vuoi cantare insieme allo strumento, devi trovare un cantante la cui estensione si adatti alla canzone nella scala per cui è costruito lo strumento. Non puoi trasporre la canzone per adattarla al cantante. Inoltre, i musicisti stavano esplorando i limiti di ciò che potresti fare con strumenti solo intonati.

Quindi da questo è venuto fuori il temperamento equabile. Divide la scala in intervalli uguali, il che significa che puoi trasporre una melodia in altre chiavi e significa anche che puoi fare cambi di accordi drammatici e altre cose interessanti. Puoi davvero dividere l'ottava in 11 o 13 note se lo desideri, ma per la maggior parte delle persone suonerà stonato. Ma quando lo dividi in 12 note, ti avvicini abbastanza alle sette note della sola intonazione da renderlo sopportabile, tranne che per alcuni sfortunati pochi apparentemente gravati da un'intonazione perfetta iperattiva. I cinque toni che si trovano tra i sette di base sono, come previsto, chiamati "mezzi toni".

Ci sono temperamenti uguali diversi dai 12 toni per ottava che suoneranno bene, ma non lo fanno generalmente hanno un numero intero di note per ottava. Wendy Carlos ha sperimentato molto con questo e ha realizzato scale come la scala Gamma con 34,29 note per ottava leggermente sbalorditive.

Questa domanda su math.se è abbastanza simile a ciò che stai chiedendo e le risposte forniscono molti dettagli:

Differenza matematica tra note bianche e nere in un pianoforte ?

Quello che sta succedendo qui è una coincidenza matematica estremamente conveniente: molte delle potenze di 2 ^ (1/12) sono buone approssimazioni a rapporti di piccoli numeri interi, e ce ne sono abbastanza per riprodurre musica occidentale.

Due punti che potrebbero non essere stati completamente risolti.

• Perché il Do maggiore è la scala di riferimento per i toni naturali?

  La notazione anglosassone oscura un po 'la storia. La tradizione della musica sacra portò in Italia (poi poco dopo Francia e Spagna) a nominare le note della scala maggiore di riferimento con sillabe convenzionali: Ut Re Mi Fa Sol La Si (questa corrisponde a CDEFGAB ) derivante dal testo latino di un brano molto noto dell'epoca. L'ultima notazione a lettera singola prende un altro punto di partenza, ma il carattere di riferimento della scala di Do maggiore è persistito nei paesi occidentali anche se è possibile trovare prove di notazioni e tastiere utilizzando altre note come riferimento. Una delle principali influenze è stata la costruzione di strumenti a tastiera (in particolare l'organo della chiesa). L'attuale layout della tastiera è un compromesso tra la larghezza tipica delle mani, suonare facilmente la scala maggiore Ut (ora principalmente chiamata Do o C ) e avere accesso a tutti i semitoni e poche altre cose. Altri progetti non hanno avuto lo stesso successo.

  Devi anche sapere che la teorizzazione e la standardizzazione della musica almeno fino al XIX secolo è stata fatta sotto il patrocinio delle chiese (ortodosse, cattoliche, riformate, ...) che spingevano per l'uniformità. Il diciannovesimo secolo ha visto una standardizzazione e internazionalizzazione ancora più ampia dell'accordatura, dell'insegnamento della musica e del dominio del pianoforte come strumento di riferimento e di composizione. Gli ultimi tre secoli hanno progressivamente soppresso o messo nell'oblio la maggior parte delle tradizioni divergenti (su scale, modi, accordature) in Europa. Al giorno d'oggi, alle persone che apprendono la musica viene insegnata come prova la scala di Do maggiore come fondamento della teoria musicale e la scala minore e le sue varianti non sono sempre trattate in modo equo.

• Perché c'è un semitono tra E & F e B & C e non altrove?

  Ci sono diverse scale / modi al di fuori della scala maggiore, con un numero variabile di note, dove i semitoni non sono posti tra la 3a e la 4a nota e tra la 7a e l'8a. Ad esempio, le tre scale minori (armonica, ascendente, discendente), ma anche dorico, frigio, puoi leggere un articolo dell'enciclopedia su di esse.

Ha a che fare con l'armonia. Le note si scontrano meno quando le loro frequenze corrispondono. Ad esempio, una nota e la sua ottava corrispondono ogni due cicli o un rapporto 2/1. Altri rapporti che suonano buoni sono 3/2, 4/3, 5/3, 5/4, 6/5 e 8/5; questi sono chiamati gli intervalli consonantici di base. Gli intervalli che si scontrano sono gli intervalli dissonanti.

Allora perché dodici note?

La scala di temperamento equabile a dodici toni è la più piccola scala di temperamento uguale che contiene tutti e sette gli intervalli consonantici di base con una buona approssimazione - entro l'uno percento - e contengono più intervalli consonanti che intervalli dissonanti.

Questa pagina (da cui ho citato) fornisce maggiori dettagli: http: //thinkzone.wlonk.com/Music/12Tone.htm

Una quinta è il più piccolo intervallo di consonanti non di ottava, con un rapporto di frequenza di 3: 2. Se inizi ad impilare quinte pure, il primo risultato ragionevolmente vicino alle ottave impilate (2: 1) è 12 quinte, che risulta essere 531441: 4096 invece di 128: 1 per 7 ottave. È il più vicino possibile per un numero ragionevole di note per ottava. Quindi, se stai cercando una tonalità costruita da ottave impilate e quinte quasi perfette, una divisione di dodici toni sarà più o meno quello a cui arriverai.

Questo succede anche per alcuni altri intervalli ( terza maggiore e terza minore, per esempio), ma peggio delle quinte. "temperamento di tono medio" cerca di ottenere un numero di terze maggiori pure al costo di far suonare peggio molti altri intervalli e alcune terze, e "accordatura ben temperata" ottiene diverse quinte pure e alcune belle terze in cambio di altre sgradevoli quinte.

Quindi, nel corso dei millenni, l'accordatura ha cambiato il suo focus da terze pure a quinte pure e alla fine ha deciso di rendere pure solo le ottave e costruire il resto della scala attorno a una quinta di uguale temperamento, ottenendo 12 semitoni di tempera equabile.

Quando due note vengono suonate insieme, suonano piacevoli solo se le loro curve d'onda si uniscono ogni pochi cicli. Li chiamiamo suono armonico.

Se le curve d'onda non si uniscono mai, o non lo fanno entro pochi cicli, suonano discordanti.

Le curve d'onda si uniranno solo se le due frequenze sono multipli l'una dell'altra. Ad esempio, se una frequenza è di 200 cicli al secondo e l'altra è di 600 cicli al secondo, le loro curve sonore coincideranno esattamente 3 volte al secondo e suoneranno armoniche.

Dividendo ogni ottava in 12 intervalli, massimizzi il numero di coppie di note che suonano piacevolmente. Questo perché il numero 12 è divisibile per numeri più piccoli rispetto a qualsiasi altro numero inferiore a 60. È divisibile per 1,2,3,4 e 6. Il numero 60 consentirebbe combinazioni più piacevoli (1,2,3, 4 e 5), ma sarebbe ridicolo dividere un'ottava in 60 intervalli.

Quindi nella musica occidentale moderna si usano 12 intervalli. Ciò fornisce il numero massimo di combinazioni dal suono piacevole per creare armonia.

Il motivo è IL CERVELLO. Al cervello piacciono le frequenze che sono proporzioni semplici. Pensa che vadano insieme. Dovresti davvero chiedere, prima, perché ci sono le ottave?

L'ottava rappresenta un raddoppio / dimezzamento di hertz (cicli al secondo).

Quindi, il Do centrale midi è 256 hz, e se conosci i numeri del tuo computer, renditi conto che i Do dell'ottava successiva sono a 512, 1024, 2048, ecc. e le ottave inferiori sono a 128, 64 e (pimp your ride) 32.

I terremoti, tra l'altro, si manifestano intorno 11 hertz.

Ogni società inizia con l'ottava. 'Cos 1/2. Fatto?

(A proposito, propongo che la 2a scuola viennese abbandoni l'ottava e intenda anche gli strumenti. Niether ha un senso per loro. Lo stato attuale delle cose con le ottave e l'accordatura e simili è pura ipocrisia. Lascia perdere, ragazzi! Anche i punteggi. E suonano in pubblico. Nessuno viene comunque.)

Hh HHm ...

Come dividere l'ottava?

Se iniziamo su C e lo dividiamo in 3 (che è una bella proporzione per il cervello) otterremo una bella scala di 3 note:

C, E, G #, C

Che ne dici di dividerlo in quattro:

C, Mib, F #, A, C

"Che bello", dice il cervello, "ma è troppo SIMMETRICO. Entrambi queste scale sembrano andare avanti per sempre, non so dire cosa. Lo so! Perché non mischi e abbini le proporzioni in modo che siano leggermente più irregolari? Allora posso capire la nota di basso. ".

E così è nato il "Proto Major Thingy":

C, E, G, C

e il "Proto Minor Thingy":

Do, Mi, Sol, Do

"Aspetta un po '", dice il cervello, " hai fatto una nota, non è vero? ".

" Dove? "

" Tra G e C, sono abbastanza sicuro che tu abbia qualcosa tra G e C ".

C, E, G, A, C?

"Thas NICE! Rock and Rollish. Avanti allora, che ne dici dell'altro? "

C, Eb, G, Bb, C?

" Ehi, che succede con il Bb? Non l'abbiamo mai sentito prima. Che tipo di proporzione è? "

" Sono 10/12esimi ".

" Intendi 5/6. Tutto a posto. Riproduci di nuovo ".

C, Mib, G, Bb, C

"Kay, questo è blues. Va bene! Ma sono 70.000 anni fa e ci sono un sacco di poveri bastardi che si aggirano per lo scenario che vengono sgranocchiati e Tigri dai denti a sciabola e simili. Molti funerali. Molta tristezza. Come Trump oggigiorno, dovresti saperlo! Hai bisogno di varietà. "

" Permutazioni? "

" Mostrami. "

DO, RE, MI, SOL, LA, DO
DO, RE, MI, SOL, SIb, DO
DO, MIb, FA, SOL, SIb, DO
DO, MIb, F, G, A, C

"Qual è la proporzione F?"

"4/3"

"Fantastico! Mi piace. 5 note. Diamogli un bel nome greco. Arricchiscilo un po '. Penta ...?

"Tonic?".

"È meraviglioso".

"Stavo scherzando. Sai, troppo letterale ..."

"Non importa. È fantastico. Andremo con Pentatonic. Altro! Abbiamo bisogno di più! Ora ci sono i capi , capanne di fango, gioielli "

" Ho bisogno di alcune regole ".

" ok. Ehm .. tieni la terza minore o la terza maggiore e la quinta dov'è, e basta sposta gli altri circa ... lo so, in questo modo: sposta il settimo in alto, il sesto in basso, il quarto in alto e il secondo in basso! "

C, D, E, G, A, C
DO, RE, MI, SOL, AB, DO
DO, RE, MI, SOL, SIb, DO
DO, RE, MI, SOL, SI, DO
DO, MIb, FA , G, Bb, C
C, Eb, F #, G, Bb, C
C, Eb, F, G, A, C
C, Eb, F #, G, A, C
C, Db, E, G, A, C
C, Db, E, G, Ab, C
C, Db, E, G, Bb, C
C, Db, E, G , B, C

"Ehi, se li sovrapponiamo tutti otterremo 12 suddivisioni dell'ottava! Brillante!"

C, Db, D, Eb, E, F, F #, G, Ab, A, Bb, B, C

"Ecco perché mi chiamo BRAIN, figliolo. Oh, e sei il benvenuto."

Per la musica occidentale i greci sono stati i primi a capire la matematica che si trova naturalmente nelle sfumature armoniche generate da corni e altri strumenti a fiato. I greci applicavano gli stessi rapporti matematici (sezione aurea) alle corde. Pitagora ha inventato l'accordatura pitagorica di (3: 2) quinte perfette e ottave (2: 1) per abbinare i toni armonici naturali. Successivamente i greci inventarono 7 scale modali basate sulla sintonizzazione pitagorica. Sette modalità con otto note in una scala. Queste scale erano ioniche, doriche, frigi, lidi, mixolidi, eolie e locriche. Usiamo ancora Ionio (Maggiore) e Eolico (Minore). Il difetto con gli armonici naturali è che le ottave tra ciascun modo erano leggermente discostate l'una dall'altra. Aristosseno nel IV secolo aC inventò i 12 toni tra le ottave nel tentativo di utilizzare lo stesso rapporto tra ogni nota. Successivamente furono inventate le chiavi per utilizzare questi 12 toni come base per ciascuna scala. Il problema era che per natura questi tasti sono leggermente distanti l'uno dall'altro. Per risolvere questo problema J.S. Bach all'inizio del 1700 promosse l'uso della scala temperata. Ha equalizzato il divario naturale tra ciascuno dei dodici semitoni. Gli ottoni nel periodo barocco avevano una borsa di truffatori di diverse dimensioni da regolare per ogni chiave in cui si esibivano. Anche gli strumenti ad arco dovevano risintonizzare per ogni cambio di tonalità. Usando la scala temperata un esecutore può passare da una tonalità all'altra senza risintonizzare.

Ottima risposta di @john Baldwin sopra. Volevo aggiungere che queste divisioni minime sono anche le più pratiche da usare. Prendendo il caso del canto, ad esempio, tra una nota diciamo C e la sua ottava C più alta, 7 intervalli producono il suono più distinto, più 5 diesis e bemolli = 12.

E poi se iniziamo a dividerlo ulteriormente, inizia lentamente a ottenere sottarmonie molto sottili che l'udito umano può discernere. E queste 12 divisioni poi si ripetono anche nelle ottave più alte e più basse e così via.

La più facile da identificare è 4 divisioni che è un divisore di 12, che costituisce una scala pentatonica con la nota più alta, e ecco perché è facilmente godibile.

Sulla base della tua formulazione della domanda, direi che è di progettazione. Non è una coincidenza che 12 semitoni rientrino in un'ottava invece di 11 o 13. Anche se i dettagli possono cambiare se si presume solo l'accordatura, spiegherò assumendo un'accordatura con temperamento uguale. Innanzitutto dovresti sapere che c'è un continuum di frequenze e quindi altezze tra due note qualsiasi. Siamo confluiti in una particolare scelta di combinazioni di altezze per la scala diatonica occidentale attraverso secoli di sperimentazione. Le note in una scala riflettono ciò che è gradito all'orecchio per una particolare cultura. Nel corso del tempo gli occidentali hanno standardizzato il mezzo passo suddividendo l'ottava in 12 passi usando la relazione

f_octave = 2 * f_tonic

hanno imposto il vincolo che il rapporto di due semitoni consecutivi sia il lo stesso non importa da dove inizi,

f_1 / 2 = r * f_tonic (questo sarebbe un secondo minore)

poiché stiamo forzando il numero di passaggi 1/2 da tonico a ottava per essere 12 otteniamo la relazione

r ^ 12 = 2 or = 2 ^ (1/12)

IMO alcuni post qui stanno mettendo il carro davanti ai buoi. Non è possibile dimostrare che l'ottava ha solo 12 semitoni usando la definizione di semitono di cui sopra. Piuttosto chiedi quale deve essere il rapporto per assicurarti che ci siano 12 in un'ottava.

A tal fine ci sono tutti i tipi di cromatismi alternativi che tentano di posizionare N passi uguali in un'ottava. Questi risultati nell'equazione di accordatura,

r = 2 ^ (1 / N)

C'è un 24 TET contenente 24 passi di un quarto uguali in un'ottava. E potresti assolutamente costruire una scala con

r = 2 ^ (1/13)

o qualche altra radice di 2. Ovviamente questi NON sarebbero 1/2 passi nel senso tradizionale del termine. Ora la questione di come ci siamo arrivati ​​è una storia più lunga. Prima dell'accordatura 12TET, la scala Just major con 8 note (ottava inclusa) ha più di 5 alterazioni. Puoi cercare su Google e trovare articoli Wiki sull'argomento, ma credo che esistessero solo scale con fino a 17 note indipendenti nell'ottava. Sebbene tutte le note consecutive abbiano probabilmente un rapporto leggermente diverso. Quindi non è proprio un passo di 1/2. Quello che chiami passo 1/2 dipende da come hai imparato il termine.