Hai esattamente ragione sul fatto che è la natura logaritmica dell'altezza che causa questo effetto.

In casi come questo, trovo che un'immagine sia utile. Qui ho etichettato ottave equidistanti (1200 centesimi) lungo l'asse x (che rappresenta l'altezza). Ho quindi etichettato le frequenze corrispondenti sull'asse y come multipli di una frequenza base arbitraria f. Nota che ogni ottava raddoppia la frequenza precedente, quindi ho disegnato la curva esponenziale che le collega. Le linee tratteggiate verticali rappresentano l'altezza che è a metà (600 centesimi) tra due ottave. Le linee tratteggiate orizzontali rappresentano quinte perfette, che sono 1,5 volte la frequenza precedente. Nota come queste linee non incontrano la curva nello stesso punto.

Matematicamente, la frequenza di una nota che è 600 centesimi più alta di una nota di frequenza f essere dato dalla formula 2 ^ (600/1200) * f = sqrt (2) * f ~ 1.414 * f.

D'altra parte, 700 centesimi non sono abbastanza neanche una quinta perfetta. Ti dà un rapporto di 2 ^ (700/1200) * f ~ 1.498 * f. Questo è quasi impercettibilmente vicino a una quinta perfetta vera , che è esattamente 1,5 * f. Abbastanza vicino da rendere la differenza trascurabile.

Mentre 1.5 si trova perfettamente nel mezzo aritmetico di 1 e 2, il centro aritmetico non è rilevante per la musica. La media intervallistica di due frequenze è la loro media geometrica.

Vai due ottave in alto e la tua frequenza va da 1 a 4 volte il suo valore. Ma un'ottava sopra non è 2,5 volte la frequenza, ma piuttosto 2 volte.

Quindi, se hai due note con frequenze f1 e f2, la metà del loro intervallo ha la frequenza (f1 f2) ^ 0,5, la radice quadrata del loro prodotto.

Di conseguenza, "mezza ottava in alto", 600 centesimi, corrisponde a una moltiplicazione della frequenza con la radice quadrata di 2.

Un quinto perfetto è proprio questo. È un quinto dalla radice, ma non è esattamente il punto a metà. Questo è salvo per il TRITONE, che in realtà suona un intervallo strano per alcuni - era chiamato "intervallo del diavolo". Il tritono è equidistante dalla radice in entrambi i casi, quindi deve essere a metà. Hai ragione che il P5 non è al centro.

Questo rapporto si applica alla frequenza che è una misura assoluta, non centesimi che più di una misura della distanza relativa tra le note. Sono di natura diversa.

Solo un semplice esempio, la quinta perfetta sopra A4 (440 Hz) è E5 (660 Hz Solo intonazione / 659,26 Temperamento equabile). È qui che ha senso descrivere l'intervallo in un rapporto. A4 stesso è di 7 semitoni di distanza da E5 e con ogni semitono di 100 centesimi è 700 centesimi. Vedi come in uno stiamo guardando i valori assoluti e in uno stiamo guardando le distanze relative? Ognuno di essi ha usi separati e pensato per scopi diversi.

Il 700% è di 7 mosse dalla radice. La nozione 3/2 è un po 'strana, si riferisce al verificarsi del 2 ° armonico che è 3 volte la vibrazione della radice .. tramite leggi della fisica .. ma l'intervallo di 1/2 passo = 100% / radice x dodicesima radice di 2 è un'invenzione umana .. penso, come confrontare le palline da golf con i funghi