La figura nell ' articolo di Wikipedia ti dice cosa stai chiedendo, se sei disposto a tabulare le deviazioni leggendo la linea verde.

L'asse verticale è il numero di centesimi che la chiave è sintonizzata lontano dal temperamento equabile, ad es il Do due ottave sopra A440 (C7) è di circa 10 centesimi diesis, cioè la frequenza è un fattore di 2 ^10/1200 diesis, oppure la frequenza effettiva è

 f = 440 * 4 * 2  3/12  * 2  10/1200  = 2105,13 Hz 

(nota: un Do7 temperato equabile è 2093 Hz)

I fattori sono:

1. il riferimento di accordatura 440 Hz,
2. salire di due ottave, un fattore di 4
3. salire di 3 semitoni, un fattore 2 ^3/12
4. applica la correzione dell'accordatura, un fattore 2 ^10/12000

Se la linea verde fosse piatta a zero, tutte le chiavi sarebbero sintonizzate sul temperamento equabile.

Sì, hai ragione, le frequenze "vere" saranno diverse da piano a piano.

Oltre alle risposte già fornite qui, vorrei aggiungere ulteriori informazioni sulla inarmonicità . La quantità di offset o "accordatura allungata" per le corde di un pianoforte acustico varia in base alle dimensioni e al tipo di pianoforte. Sarà diverso per una spinetta, una verticale, un bisnonno, un grandicello o un pianoforte a coda. Quindi non esiste una formula rigida per tutti i pianoforti acustici.

Discussione sull'accordatura allungata e inarmonicità su Wikipedia.

Nell'articolo su Piano Sintonizzando su Wikipedia, troviamo questa citazione:

La quantità di allungamento [in altezza] necessaria per ottenere ciò è una funzione del ridimensionamento delle corde , un determinazione complessa basata sulla tensione, lunghezza e diametro della corda.

Con le diverse dimensioni di pianoforti che ho menzionato sopra, ogni diverso tipo di pianoforte avrà un diverso set di corde con set diversi di lunghezza, spessore della corda centrale e spessore degli avvolgimenti sulle corde dei bassi. Ciò si tradurrà in diverse quantità di tensione per le corde utilizzate per produrre una data altezza, tra diverse marche, modelli e dimensioni di pianoforti. Ancora una volta, questo dimostra che non esiste un "elenco unico per tutte le frequenze" per un pianoforte acustico.

Un accordatore di pianoforte professionista sa che l'accordatura esatta richiesta varierà con ogni piano con cui lavora. L'accordatura di ogni pianoforte acustico è un processo interattivo e dispendioso in termini di tempo e non dipende interamente da un insieme fisso di altezze o frequenze esatte.

Stai facendo questa domanda perché stai scrivendo un sintetizzatore? Questo tipo di dettaglio aiuterà la risposta che ottieni ...

Se stai lavorando su un semplice sintetizzatore sottrattivo basato su campioni, le regolazioni delle frequenze sono già fatte per te dal set di campioni che hai avere. Quindi, a meno che tu non stia cercando di fare una sintesi di modelli fisici, puoi ignorare l'offset.

La domanda è in realtà controproducente. Il problema è che la ragione per cui un pianoforte ottiene l'accordatura allungata in primo luogo è la disarmonicità, il che significa che le onde sinusoidali che costituiscono le varie armoniche che viaggiano sulla corda stessa sono non semplici multipli della fondamentale.

Di conseguenza, il segnale composto non è nemmeno periodico nel suo insieme, quindi parlare della sua "frequenza" è in qualche modo fuorviante. Ovviamente, la componente più forte sarà l'onda senoide fondamentale dalla più semplice vibrazione in modalità stringa, ma se ripeti un segnale campionato a quella frequenza, la disarmonicità verrà sostituita da artefatti di confine e le armoniche risultanti oscilleranno.

Nel caso in cui questa domanda fosse posta nel contesto della sintesi del suono: avrai bisogno di più oscillatori per tasto a frequenze diverse al fine di gestire correttamente la disarmonicità.

Se crei un segnale veramente periodico con una sola frequenza per la sintesi, un'accordatura allungata sarà inutile.

Come ammette la domanda stessa, non esiste una risposta matematica "vera" alla domanda poiché la migliore accordatura varia da piano a piano. Ma si può usare una formula che include un termine quadratico per fornire un po ' approssimazione della curva di Railsback. È quindi probabilmente più adatto per la maggior parte dei pianoforti di quanto lo sarebbe il temperamento equabile.

Fonte: ricerca originale. (Sono un musicista dilettante con una laurea in matematica.) Le correzioni sono benvenute.

• Assunto n. 1: l'ottava intorno al Do centrale (o C4) è più o meno di temperamento uguale.
• Assunzione n. 2: a causa dell'inarmonicità delle stringhe, ogni ottava sopra o sotto il Do centrale dovrebbe essere "allungata" in modo incrementale più ampio dell'ottava precedente.

Definisci un "fattore di allungamento" s in semitoni per ottava. Quindi ogni nota n , in semitoni sopra il Do centrale, dovrebbe essere accordata (s / 2) (n / 12) ^ 2 semitoni più nitida del temperamento equabile (e ogni nota sotto Do centrale più piatto della stessa quantità).

Per il mio pianoforte, un fattore di allungamento di s = 0,05 semitoni (o 5 centesimi) sembra funzionare bene. In altre parole, l'ottava intorno a C5 sarà accordata di 5 centesimi più larga del temperamento equabile, l'ottava intorno a C6 sarà accordata di 10 centesimi più ampia, e così via. Usando la formula sopra, troviamo che ogni Do sopra e sotto il Do centrale dovrebbe essere accordato come segue:

  C5: 2,5 centesimi diesis (5/2) C6: 10 centesimi diesis (5 + 10 / 2) C7: 22,5 centesimi diesis (5 + 10 + 15/2) C8: 40 centesimi diesis (5 + 10 + 15 + 20/2)  

Ora come possiamo ottenere frequenze da questo?

In un'accordatura equilibrata, la frequenza di una nota n è x = C4 * 2 ^ (n / 12) Hz. Aggiungendo il nostro termine di aggiustamento, otteniamo x = C4 * 2 ^ ((n + (s / 2) (n / 12) ^ 2) / 12) Hz. (Le note sotto il Do centrale dovrebbero essere piatte invece che diesis, quindi sottrai il termine di aggiustamento invece di aggiungerlo.)

Per l'altezza del concerto (LA = 440 Hz), la frequenza corretta per il Do centrale dipende dalla scelta del fattore di allungamento s . Sostituisci x = 440 Hz e n = 9 semitoni nella formula sopra, quindi risolvi per C4. Per s = 0,05, la frequenza corretta è 261,41 Hz.

Reinserendo quel valore per C4 nella formula, possiamo quindi calcolare:

  C1: 32,25 Hz (più piatto di ET a 32,70 Hz) C2: 64,98 Hz (più piatto di ET a 65,41 Hz) C3: 130,52 Hz (più piatto di ET a 130,81 Hz) C4: 261,41 Hz (più piatto di ET a 261,63 Hz) C5 : 523,58 Hz (più nitido di ET a 523,25 Hz) C6: 1051,71 Hz (più nitido di ET a 1046,50 Hz) C7: 2118,66 Hz (più nitido di ET a 2093,00 Hz)  

E così via.

Solo per espandere un punto che penso sia importante, e il motivo per cui le frequenze di apprendimento è semi-inutile:

Come ha detto supercat nel suo commento la risposta di @ Dave, ogni corda vibrerà a più frequenze .
Modalità Fisica attiva:
In teoria, se la corda fosse composta da un materiale perfettamente elastico (come si presume nelle lezioni di fisica), vibrerebbe a infinite frequenze, ma il la forza di ciascuna frequenza diventa rapidamente molto piccola, in modo tale da coinvolgere solo una quantità finita di energia.
Modalità fisica disattivata.

Ora arriva la parte importante: queste frequenze aggiuntive sono essenziali per il suono degli strumenti musicali. Sono fondamentalmente il motivo per cui senti una differenza tra un violino e un pianoforte che suonano entrambi un A4.

Ti consiglio di ascoltare un'onda sinusoidale pura a 440 Hz, ad es. qui:

Questo grafico mostra la frequenza di tutte le note:

Come riferimento, 60 numeri midi = Do centrale sul pianoforte.

Un pianoforte ha corde separate per ogni nota. Quindi il fatto che il LA sia diverso non significa necessariamente che gli altri non siano in sintonia con 440. A seconda di cosa ha fatto l'accordatore.

Stai quindi chiedendo: se voglio accordare l'intero piano per dire 420 (LA), come cambiano le altre frequenze? In tal caso, puoi utilizzare la formula, come indicato qui:

  fn = f0 * (a) nwheref0 = la frequenza di una nota fissa che deve essere definita . Una scelta comune è impostare il LA sopra il Do centrale (A4) a f0 = 440 Hz. Ma in questo caso potrebbe essere 420.n = il numero di mezzi passi di distanza dalla nota fissa che sei. Se sei su una nota più alta, n è positivo. Se sei su una nota più bassa, n è negativo. Fn = la frequenza della nota a mezzo passo di distanza. A = (2) 1/12 = la dodicesima radice di 2 = il numero che moltiplicato per se stesso 12 volte è uguale a 2 = 1.059463094359 ... La lunghezza d'onda del suono per le note si trova da Wn = c / fn dove W è la lunghezza d'onda ec è la velocità del suono. La velocità del suono dipende dalla temperatura, ma è di circa 345 m / sa "temperatura ambiente". 

Per maggiori dettagli e comprensione della musica e delle frequenze ti suggerisco di dare un'occhiata all'eccellente libro (open source) di David J. Benson, disponibile qui.

Riguardo a:

forse puoi darmi un'idea generale di quale può essere la gamma di frequenza per ogni tasto?

Spero questo è chiaro. Prendi un certo intervallo per A (diciamo 420-460) e sarai in grado di calcolare tutti gli intervalli da quello. forse puoi darmi un'idea generale di quale può essere la gamma di frequenze per ogni tasto?