La metrica più semplice, e probabilmente la più utilizzata (anche se solo implicitamente), è contare il numero di passaggi tra le radici degli accordi lungo una linea di quinte unidimensionale (o la cerchio delle quinte, se permetti enarmoniche e aritmetica modulare). Dico che questo è il più usato perché le progressioni di accordi in cui la fondamentale sale o scende di una quarta o di una quinta (che hanno una distanza di uno da questa metrica) sono le più frequentemente utilizzate in molti stili di musica occidentale, indicando che sono "vicini" in un certo senso. Nella tua progressione, questa metrica produrrebbe distanze di 3, 1, 1, 1. Questa metrica ha la proprietà di suonare bene con la musica tonale, poiché la relazione tonica / dominante che definisce la tonalità ha una distanza di uno. E anche se inizi a deviare leggermente dagli accordi nella tua tonalità corrente, finirai per visitare chiavi "strettamente correlate". Inoltre, poiché questa metrica considera solo le radici, non si preoccupa intrinsecamente della qualità degli accordi (maggiore o minore) o delle estensioni (settime, none, ecc.).

Dom ha già menzionato una seconda possibile metrica: il numero di toni comuni (o più precisamente, il numero di toni non comuni). Più toni hanno in comune due accordi, più sono considerati "vicini". Funziona particolarmente bene se si tracciano accordi come forme in una griglia Tonnetz. In questo caso, tutte le tue triadi sono viste come triangoli. Gli accordi "più vicini" in base a questa metrica sono quelli che condividono due toni comuni, il che si traduce nel "ribaltamento" grafico del triangolo lungo uno dei suoi tre bordi. Ciò implicherebbe, ad esempio, che l'accordo di Do maggiore è ugualmente vicino a Do minore, Mi minore e La minore (un singolo capovolgimento trasformerà sempre un maggiore in un minore e viceversa ). Nella teoria neo-Riemanniana, questi tipi di trasformazioni sono persino denominati: Parallela (P), Leading Tone (L) e Relativa (R), rispettivamente. Esistono trasformazioni più complesse tra accordi contenenti un solo tono comune. Ignorando il settimo per semplicità, questa metrica darebbe alla tua progressione le seguenti distanze: 1, 2, 2, 2. Questa metrica è meno limitata dalla tonalità e più focalizzata sulla guida della voce. Può spiegare più facilmente la "vicinanza" di accordi come C e A ♭ che tradizionalmente sarebbero molto lontani. In quanto tale, è più adatto alla musica romantica, dove queste progressioni tradizionalmente lontane sono più comuni. Questa metrica si adatta anche intrinsecamente a diversi tipi di accordi.

Esiste una metrica ancora più complessa che è stata sviluppata da Dmitri Tymoczko in A Geometry of Music , che coinvolgono orbifold n-dimensionali, ma non posso affermare di averne molta familiarità. È adatto per farti dimenticare la musica e concentrarti sulle astrazioni matematiche.

Questa è una parte importante della guida vocale, in particolare dove cerchi toni comuni tra gli accordi nell'armonia e come puoi trarne vantaggio durante la transizione tra di essi.

Non è davvero una formula tanto quanto si tratta solo di valutare quanto siano correlati i due accordi. L'idea di base è guardare solo quali note sono comuni e se le note si muovono di quanto.

Nel tuo esempio, C che ha le note C-E-G e A7 che ha le note A-C # -E-G ha 2 toni comuni ed è correlato. Se stavi esprimendo questi accordi in stile corale in 4 parti, potresti vedere i due accordi espressi in questo modo:

Come puoi vedere , 2 delle note non si muovono. Una nota, in questo caso il tenore, si sposta cromaticamente verso l'alto che è pochissimo movimento e l'altra da spostare è la nota di basso di 3a che è un po 'più distante. Tuttavia, dovresti notare che in genere c'è più movimento nella linea di basso.

Come ho detto, non è una formula, ma è un ottimo modo per valutare di cosa stai parlando.

Indossando il mio cappello da matematico, la nozione di distanza dipende da molti fattori. La vera domanda è che cosa cerchi quando dici distanza? Vuoi dire che stai cercando una somiglianza armonica? Intendi una sorta di misura della somiglianza uditiva? Intendi come si relazionano con il cerchio delle quinte?

Il costrutto di una distanza euclidea non è realmente rilevante in quanto intende misurare una distanza fisica. Gli argomenti teorici di gruppo hanno lo scopo di parlare delle relazioni tra le progressioni cordali ma sono costruiti su una rete o una struttura reticolare. Quando usiamo reticoli abbiamo molte misure differenti di distanza ognuna delle quali ha un significato rilevante per la rete in esame.

Potremmo anche guardare al costrutto di similarità temporale. Qui scriviamo ogni accordo in termini della sua forma matematica (onde sinusoidali, ecc.) E poi esaminiamo le distanze tra i segnali nel tempo. Quindi, alla fine, l'uso del termine distanza necessita di una maggiore definizione prima di poter davvero rispondere alla domanda.

Esistono altri modi per definire la "distanza" armonica. Ad esempio, si potrebbe usare il reticolo dei 5 limiti come una "mappa" su cui il paesaggio armonico si dispiega per quinte (W-E) e terze (N-S). Quindi potremmo seguire la sequenza di accordi mentre si muove, letteralmente, sulla mappa.

L'unico problema è quello del ii accordo, che ha una duplice funzione e di fatto ci trasporta attraverso la mappa in un istante ( da sottodominante "ovest" a dominante "est"). (Vedi ' Harmonic Experience' di WA Mathieu, per esempio.)

Un altro modo, sebbene strettamente correlato, di visualizzare la distanza è usare la teoria neo-Riemanniana e tonnetz . Quindi la distanza potrebbe essere tracciata più o meno allo stesso modo e forse definita come il numero di trasformazioni necessarie per passare da un accordo al successivo.

Nel caso di C -> A avremmo bisogno di due trasformazioni: R e P.

Alcuni articoli accademici discutono proprio questa domanda; Ne riassumerò due qui.

In "Square Dances with Cubes" di Richard Cohn, l'autore discute di ciò che chiama "somme guidate dalla voce diretta" (o "DVLS" ). Per trovare il DVLS tra due accordi, devi semplicemente sommare le classi di altezza del primo accordo (mod 12), le classi di altezza del secondo accordo (anche mod 12) e sottrarre la prima somma dal secondo.

Ad esempio, da Do maggiore a Sol maggiore, abbiamo CEG ({0 4 7}, che si aggiunge a 11) che si sposta in GBD ({7 11 2}, che aggiunge a 20, o 8 mod 12). Quindi sottraiamo 11 da 8, che è -3, o 9 mod 12; la somma diretta della voce principale da Do maggiore a Sol maggiore è quindi 9. Come previsto, questa è una distanza maggiore rispetto, ad esempio, da Do maggiore (11) a Re maggiore (5), che ha un DVLS di 6.

In un articolo simile di Seth Monahan intitolato "Voice-Leading Energetics in 'Tristan Idiom' di Wagner", l'autore parla di "metriche di spostamento cinetico" o "KDM". Ciò che è importante qui (e ciò che è diverso dal DVLS di Cohn) è che Monahan misura anche la direzione.

Torniamo all'esempio in cui Do maggiore si sposta in Sol maggiore. In questo caso, possiamo capire che c'è un G di tono comune tra i due accordi (quindi uno spostamento di 0 mezzi passi); le altre voci si spostano da C a B e da E a D. Dato che da C a B è giù di mezzo passo (-1) e da E a D è giù di un intero passo (-2 mezzi passi), sommiamo queste distanze insieme per che questa progressione ha un KDM di -3. Come per il DVLS di Cohn, un valore assoluto più grande suggerisce una distanza maggiore tra due accordi.

Per chiunque sia interessato alle realtà cognitive di queste distanze, suggerisco "Distanza della triade percepita: prove a sostegno della realtà psicologica of Neo-Riemannian Transformations " di Carol Krumhansl.